вычислить значение суммы ряда y(x) в произвольной точке x

вычислить y в точке x1

Вычислите абсциссу точки B.  Очевидно, что координаты (-6;-30) принадлежат точке В, значит ее абсцисса - это "-6". Ответ: -6.

Функции, исследование функций Наибольшее и наименьшее значение функции.
С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования... Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.
Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X, который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком .
В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x).
Наибольшее и наименьшее значение функции - определения, иллюстрации.
Кратко остановимся на основных определениях.
Наибольшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .
Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .
Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .
Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.
Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.
Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.
Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:"Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции"? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'. Пример 1. Вычислить производную функции y = sin x. Найдем  Пример 3. Составить уравнение касательной к кривой y = 2x2-x+5 при x = -0,5. Решение. Найдем производную в точке x = -0,5.

Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.
На отрезке
На первом рисунке функция принимает наибольшее ( max y) и наименьшее ( min y) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6].
Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на [1;6]. В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее - в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.
На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.
На открытом интервале
На четвертом рисунке функция принимает наибольшее ( max y) и наименьшее ( min y) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6).
На интервале [1;6) наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а про наибольшее значение мы ничего сказать не можем. Если бы точка x=6 была частью интервала, тогда при этом значении функция принимала бы наибольшее значение. Этот пример изображен на рисунке №5.
На рисунке №6 наименьшее значение функции достигается в правой границе интервала (-3;2], о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.
На бесконечности
В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение ( max y) в стационарной точке с абсциссой x=1, а наименьшее значение ( min y) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3.
На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2 является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3. Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.
К началу страницы Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке [a;b].
Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a;b].
Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке [a;b] (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.

1) Вычислить значение частных производных функции z ( x , y ) , заданной неявно: xy = z 2 - 1 , в точке M 0 ( 0 ; 1 ; - 1) . Вычисление производной в случае неявно заданной функции

Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a;b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b.
Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.
Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения.
Находим производную функции по правилу дифференцирования дроби:
Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков [1;4] и [-4;-1].
Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2. Эта стационарная точка попадает в первый отрезок [1;4].
Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1, x=2 и x=4:
Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1, а наименьшее значение – при x=2.
Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1] (так как он не содержит ни одной стационарной точки):
Следовательно, .
Графическая иллюстрация.
К началу страницы Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале X.
Прежде чем ознакомиться с алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на открытом или бесконечном интервале рекомендуем повторить определения одностороннего предела и предела на бесконечности, а также способы нахождения пределов.
Проверяем, является ли интервал X подмножеством области определения функции.
Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в интервале X (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
Определяем все стационарные точки, попадающие в промежуток X. Для этого приравниваем производную функции к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.
Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в интервал, то переходим к следующему пункту.
Вычисляем значения функции в стационарных точках и точках, в которых не существует первая производная функции (если такие точки есть).
Дальнейшие действия зависят от интервала X.
Если интервал X имеет вид:
[a;b), то вычисляем значение функции в точке x=a и односторонний предел ;
(a;b], то вычисляем значение функции в точке x=b и односторонний предел ;
(a;b), то вычисляем односторонние пределы ;
, то вычисляем значение функции в точке x=a и предел на плюс бесконечности ;
, то вычисляем односторонний предел и предел на плюс бесконечности ;
, то вычисляем значение функции в точке x=b и предел на минус бесконечности ;
, то вычисляем односторонний предел и предел на минус бесконечности ;
, то вычисляем пределы на плюс и минус бесконечности .
Делаем выводы, отталкиваясь от полученных значений функции и пределов. Здесь может быть масса вариантов. К примеру, если односторонний предел равен минус бесконечности (плюс бесконечности), то о наименьшем (наибольшем) значении функции ничего сказать нельзя для данного интервала. Ниже разобраны несколько типичных примеров. Надеемся подробные описания их решения помогут Вам усвоить тему. Рекомендуем вернуться к рисункам с №4 до №8 из первого раздела этой статьи.
Начнем с области определения функции. Квадратный трехчлен в знаменателе дроби не должен обращаться в ноль:
Легко проверить, что все интервалы из условия задачи принадлежат области определения функции.
Продифференцируем функцию:
Очевидно, производная существует на всей области определения функции.
Найдем стационарные точки. Производная обращается в ноль при . Эта стационарная точка попадает в интервалы (-3;1] и (-3;2).
Для первого промежутка вычисляем значение функции при x=-4 и предел на минус бесконечности:
Так как , то , а о наименьшем значении функции выводов сделать нельзя. Можно лишь утверждать, что значения функции ограничены снизу значением -1 (на минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к прямой y=-1).
Второй интервал интересен тем, что не содержит ни одной стационарной точки и ни одна из его границ не является строгой. В этом случае мы не сможем найти ни наибольшего, ни наименьшего значения функции. Вычислив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к минус трем слева, мы лишь сможем определить интервал значений функции:
Следовательно, значения функции находятся в интервале при x

4x – 1, x0(x нулевое) = 2. : Вычислить производную функции f(x) в точке x0(x нулевое), используя определение производной функции в точке, и написать(1) 4. Помогите с задачкой по матану : Для функции z = f(x,y) а) найти дифференциал в точке A(xa,ya) и

Используя приближенное равенство dz ≈ Δz , можно с помощью полного дифференциала вычислить приращение функции z = f ( x, y ) если независимые переменные x и y получают  в точке М(1;1) в направлении x + y2 2 Задача 10.


У нас есть много людей, которые помогут Вам здесь :) Кроме того, мой последний вопрос был решен менее чем за 10 минут:D Во всяком случае, Вы можете просто войти и  4)Вычислите значение производной функции: y=x^4/2-3x^2/2+2x в точке x0=2.

Функция называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение представимо в виде.  Пример 2. Вычислим дифференциал функции y = cos x в точке x0 = π / 6. Решение.


Пример 7. Найти значение производной функции y = f(x), где f(x)=, в точке х = 5. (эф от икс равно корень квадратный из восемь минус одна целая пятнадцать сотых икс).  Чтобы вычислить f(1), в полученное выражение подставим х = 5

. В частности, если , h(z) – регулярна в точке а, h(а) 0, то справедлива формула.  , где функция регулярна в точке x =0, то. . Приведем еще одну, важную для практического вычисления вычетов теорему.


Метод двух точек. Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x0, и требуется найти значение  Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x2 − x1 и приращение функции Δy = y2 − y1.

Примеры исследования функций на экстремум. Пусть функция $z=f(x,y)$ определена в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$.  Теперь будем вычислять значение $Delta$ в каждой из найденных ранее стационарных точек.


Вычислить производные второго порядка функции z = ln(x2+y2) в точке M0(1;1). Решение. Производные первого порядка вычислены в предыдущем примере =

Вычислить точное и приближенное (тремя методами) значения производной функции y=x*x в точке x=1 с шагом h=1 и h=0.001. Этапы решения задачи приведены в таблице.


Места в точке Икс не только замечательно красивые (даже в начале бесснежной и теплой зимы!), но и насыщенные большим объемом полезной  Миша минут за 10-15 решил дома задачу, вычислил координаты, а мы вдвоем с Natic пошли брать тайник. 7 ноября 2015

Если дифференцируемая в точке х0 функция имеет в этой точке экстремум, то f'(x0) = 0 или не существует.  на отрезке.Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка.


Пример 2. Вычислить приращение ∆f для функции f(x) = 1/x в точке х0, если приращение аргумента равняется ∆х. Опять же, воспользуемся формулами, полученными выше.

решения других задач по данной теме. В двойном интеграле , где G - круг, ограниченный окружностью x2 + y2 = 2x, перейти к полярным координатам с полюсом в точке O(0, 0) и вычислить полученный интеграл.


2 методика:Вычисление расстояние по скорости и времени Вычисление расстояния между двумя точками.  В большинстве случаев расстояние может быть вычислено по следующим формулам: d = s × t, где d - расстояние, s – скорость, t – время; d

Этапы 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и. - презентация.


Построить градиент. 2. Вычислить производную функции в точке М0 по направлению вектора .  Решение. 1. градиентом функции u=f(x,y) в точке М0(х0,у0) называется вектор, координаты которого равны значениям частных производных функции в точке

Вычислить значение многочлена в точке. Формулировка. Дано натуральное число n, вещественное число x и набор вещественных  Вычислить значение многочлена n-ной степени с коэффициентами an, an-1, , a0 от одной переменной в точке x.


В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y) в стационарной точке с  Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1, x=2 и x=4

На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой Х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке Х0.


1. Зафиксировать значение , найти 2. Дать аргументу приращение , перейти в новую точку , найти 3. Найти приращение функции: 4. Составить отношение 5. Вычислить Этот предел и есть производная функции в точке x.

вычислить значение f(x) в точке х0 и простроить график в ее произвольной окрестности. Миниатюры.13 февраля 2012