По известному разложению легко вычислить значение полинома, составленного из первых k членов степенного ряда в заданной точке. В общем случае вопрос о выборе числа k для достижения необходимой точности вычислений совсем не прост.

4) Вычислить интеграл методом Симпсона; Для успешной реализации этих действий программа должна состоять из следующих функциональных модулей: 1) Функция f - вычисляет значение интегрируемой функции

Какая скор ОТВ:12 км/ч Вершины треугол ABC дел окруж с центром O на три дуги AB, BC и AC, градусные меры котор относ 7:5:6. Н: наименьш угол треуголь?  64 Вычислите f(0)+f(3), если f(x)=3x!2!+5x-3?

Интеграл, методы интегрирования Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
В большинстве прикладных задач вычислять точное значение определенного интеграла не целесообразно, более того, это далеко не всегда возможно. Часто нам бывает достаточно знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, например, с точностью до одной тысячной.
Для нахождения приближенного значения определенного интеграла с требуемой точностью применяют численное интегрирование, к примеру, метод Симпсона (метод парабол), метод трапеций или метод прямоугольников. Однако, в некоторых случаях можно вычислить определенный интеграл точно.
В этой статье мы остановимся на использовании формулы Ньютона-Лейбница для вычисления точного значения определенного интеграла, приведем подробное решение характерных примеров. Также на примерах разберемся с заменой переменной в определенном интеграле и с нахождением значения определенного интеграла при интегрировании по частям.
Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница: .
Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.

Семинар 3 Алгебра Производная сложной функции Разминка √ 1. Вычислите значение производной функции f (x) = 2 x в точке x0 = 0, 25.  Вычислите f ′ (1), если f (x) = Задача 3.44.

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию , причем эта функция непрерывная и справедливо равенство .
Действительно, запишем приращение функции , соответствующее приращению аргумента и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:
где .
Перепишем это равенство в виде . Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при , то получим . То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке [a; b]. Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как , где С – произвольная постоянная.
Вычислим F(a), используя первое свойство определенного интеграла: , следовательно, . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b): , то есть . Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница .
Приращение функции принято обозначать как . Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид .

Вычислим вычет относительно точки z = i: e1/z res f (i) = 2 (z + 1) 2 z =i e−1 = . 2i Для нахождения res f (0) необходимо иметь разложение в ряд Лорана в окрестности точки z = 0. Однако в данном случае в этом нет необходимости, так как f (z ) - четная и

Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y=F(x) подынтегральной функции y=f(x) на отрезке [a; b] и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье методы интегрирования разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения.
Для начала отметим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке [1;3], следовательно, интегрируема на нем. (Об интегрируемых функциях мы говорили в разделе функции, для которых существует определенный интеграл).
Из таблицы неопределенных интегралов видно, что для функции множество первообразных для всех действительных значений аргумента (следовательно, и для ) записывается как . Возьмем первообразную при C = 0: .
Теперь осталось воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: .
На отрезке подынтегральная функция непрерывна, следовательно, интегрируема.
Найдем множество первообразных функции : .
Возьмем первообразную и по формуле Ньютона-Лейбница вычислим требуемый определенный интеграл:
Переходим ко второму определенному интегралу.
На отрезке [-1;1] подынтегральная функция не ограничена, так как , то есть, не выполняется необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Более того, не является первообразной функции на отрезке [-1;1], поскольку точка 0, принадлежащая отрезку, не входит в область определения функции. Следовательно, не существует определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции на отрезке [-1;1].
Итак, перед применением формулы Ньютона-Лейбница обязательно нужно убедиться, что указанный определенный интеграл существует.
Подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования, следовательно, определенный интеграл существует.
Обозначим . При x=9 имеем , а при x=18 имеем , то есть, . Подставляем полученные результаты в формулу :
Из таблицы неопределенных интегралов видно, что одной из первообразных функции является функция , поэтому, по формуле Ньютона-Лейбница имеем
Можно было обойтись и без формулы .
Если методом замены переменной взять неопределенный интеграл , то мы придем к результату .
Таким образом, по формуле Ньютона-Лейбница вычисляем определенный интеграл:
Как видите, результаты совпадают.
1 1 2 2 1 не определён 2 3 Иногда возникает необходимость вычисления значений тригонометрических функций аргументов π π 18o  Вычислив указанные значения, ( ) получим, что D f −1 = E (f ) = (0; 1) ∪ [2; 7,5] . Найдем обратную функцию: ( ) 1 x +1= y

3 Суммируя по интервалам сетки, получаем формулу b b I= a f (x) dx ≈ IS = = a ˜ dt = h f 3 N −1 (f2n + 4f2n+1 + f2n+2 ) n  В противном случае продолжают удваивать число узлов сетки и заново вычислять интеграл, пока требуемое условие не будет достигнуто.


Решите дана функция у=fx, fx={x+1^2+1 , если -3=0а вычислите : f-3 f-1 f0 f4б постройте график функции. в найдите Df и.  Подготовьте три варианта сочинения на тему"В книжном магазине ".Один должен быть текст.

452. Вычислите углы между вектором а {2; 1; 2} и координатными векторами. → Вконтакте. Facebook.


Найдите угол, который оразует с положительным лучом оси абцисс касательная к графику функции y=x10/10-x7/7 +x√3 – 2 в точке x0=1Вычислите f’П/3,есл.  2.Вычислите f’(П/3),если.

Как использовать пределы базовой функций для вычисления пределов сложной функции.  Если f1,f2,………,fn есть теми же самыми функциями lim [f(x)]n = [lim f(x)]n.


Элементарные преобразования математических выражений". Задание №1Вычислить  Задание №3.1 Вычислить точное и приближенное значения выражения: . > arctan(3)-arcsin(sqrt(5)/5)

Группа заданий В5. 1. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции в точке A(-2;2). Вычислите .  Найдите значение выражения f(1) + f(4) – 2f(2,5).


Вычислить определители 1) ; 2) ; 3) . Решение. С помощью формулы.

Очевидно, что ε < 1 (для окружности ε=0). Если М(х; у) — произвольная точка эллипса, то отрезки F1М=r1 и F2М=r2 (рис. 3.9) называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы могут быть вычислены по формулам r1=а+εх, r2=а–εx.


Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3 – 4х; у = 0; х ≥ 0.  Точки А(0; 0) и В(2; 0) – точки пересечения графика с осью Ох. Заданные линии образуют фигуру ОАВ, которая показана штриховкой на рис. 4.

2. Вычислите f(x), где f(x)=cos x. f f. Не выполняя построения выясните, принадлежит ли точка графику функции  Тема 2. Тригонометрические уравнения. Р – 1. Вычислите


4) Вычислите производную функции y=9x2-cosx.  Вычислите площадь фигур, ограниченных линиями: 38) .

пусть необходимо вычислить интеграл от a до b интегрируемой на данном участке функции f(x). Способ самый простой (метод "левых" прямоугольников): вычисляем шаг интегрирования h = (b-a)/N далее находим сумму ш = 0 N-1, SInt = f(a+i*h) 1 апреля 2003


Вычислить, какую работу произведет сила f={3; -5; 2}, когда ее точка приложения перемещается из начала в конец вектора ={2; -5; -7}.

Пользуясь рисунком, вычислите F (8) – F (2), где F (x) — одна из первообразных функции f (x). Ещё раз запишем теорему Ньютона–Лейбница: Пусть f данная функция, F её произвольная первообразная.


. Пример 1. Вычислить интеграл: . Решение: Подынтегральная функция f(x)=x2 на отрезке [1;4] имеет первообразную F(x)= , тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем

Вычислить значения функции y=f(x), обеспечив не менее 4-х значений из каждого интервала независимой переменной.  n- число значений, h- шаг, а- первое число из отрезка а,b. ФУНКЦИЯ


С помощью данного онлайн-калькулятора можно вычислять любые интегралы. Например, найти интеграл x3/3-sin(x). Запишем как x^3/3-sin(x) и нажимаем кнопку Получить решение.

(по замечательному пределу III). 3.  (по замечательному пределу V). Задачи. 1) Вычислите производные следующих функций